Найдём объёмы шаров:

Найдём объём V вы­плав­лен­но­го из них куба:

Найдём a ребро куба:

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти S куба:

Ответ:

Пусть ис­ход­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис) таким об­ра­зом, что ADC  — ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ADC ги­по­те­ну­за AC равна

Центр O₁ опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ADC яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной его ги­по­те­ну­зы, он рав­но­удалён от точек A, D и C. Центр O опи­сан­ной во­круг пи­ра­ми­ды сферы также рав­но­удалён от этих точек и от точки B, по­это­му лежит на пря­мой, пер­пен­ди­ку­ляр­ной AC. По­сколь­ку центр O рав­но­удалён от точек B и D, он лежит на MO  — вы­со­те к сто­ро­не BD тре­уголь­ни­ка DBO. Зна­чит, ра­ди­ус опи­сан­ной сферы равен от­рез­ку DO. Так как MOO₁D  — пря­мо­уголь­ник (углы MDO и MDO₁), то:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке DOO₁:

Ответ:

Пусть ис­ход­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис) таким об­ра­зом, что ADC  — ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ADC ги­по­те­ну­за AC равна

Центр O₁ опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ADC яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной его ги­по­те­ну­зы, он рав­но­удалён от точек A, D и C. Центр O опи­сан­ной во­круг пи­ра­ми­ды сферы также рав­но­удалён от этих точек и от точки B, по­это­му лежит на пря­мой, пер­пен­ди­ку­ляр­ной AC. По­сколь­ку центр O рав­но­удалён от точек B и D, он лежит на MO  — вы­со­те к сто­ро­не BD тре­уголь­ни­ка DBO. Зна­чит, ра­ди­ус опи­сан­ной сферы равен от­рез­ку DO. Так как MOO₁D  — пря­мо­уголь­ник (углы MDO и MDO₁), то:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке DOO₁:

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Пусть AB  =  x, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC имеем

Ис­поль­зуя фор­му­лы пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка и по­лу­ча­ем

Далее найдём вы­со­ту приз­мы, ко­то­рая также яв­ля­ет­ся вы­со­той ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CAA₁ то есть Ис­поль­зуя фор­му­лу пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра имеем

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Пусть BC  =  x, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC имеем

Ис­поль­зуя фор­му­лы пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка и по­лу­ча­ем

Далее найдём вы­со­ту приз­мы, ко­то­рая также яв­ля­ет­ся вы­со­той ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BCC₁ то есть Ис­поль­зуя фор­му­лу пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра имеем

Ответ:

Пусть дан­ные за­да­чи изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке (см. рис).

Вы­со­та ко­ну­са од­но­вре­мен­но яв­ля­ет­ся вы­со­той приз­мы, в ко­то­рую он впи­сан. Ра­ди­ус r окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су окруж­но­сти, впи­сан­ной в ос­но­ва­ние приз­мы (рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник). Вы­ра­зим сто­ро­ну AB ос­но­ва­ния приз­мы:

Те­перь вы­ра­зим объёмы ко­ну­са и приз­мы:

Таким об­ра­зом, объём приз­мы боль­ше объёма ко­ну­са в раз. Имеем:

Ответ: 54 см³.

Пусть дан­ные за­да­чи изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке (см. рис).

Вы­со­та ко­ну­са од­но­вре­мен­но яв­ля­ет­ся вы­со­той приз­мы. Ра­ди­ус R окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су окруж­но­сти, опи­сан­ной около ос­но­ва­ния приз­мы (рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка). Вы­ра­зим сто­ро­ну AB ос­но­ва­ния приз­мы:

Те­перь вы­ра­зим объёмы ко­ну­са и приз­мы:

Таким об­ра­зом, объём приз­мы боль­ше объёма ко­ну­са в раз. Имеем:

Ответ: 27 см³.

Пусть дан­ные за­да­чи изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке (см. рис): AP, BP и CP  — бо­ко­вые рёбра, углы между ними пря­мые.

До­стро­им тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду PABC до па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Ра­ди­ус сферы, опи­сан­ный около дан­ной пи­ра­ми­ды и па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли d этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Найдём эту диа­го­наль:

Зна­чит, ра­ди­ус R опи­сан­ной окруж­но­сти равен Найдём пло­щадь S по­верх­но­сти сферы:

Ответ:

Пусть дан­ные за­да­чи изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке (см. рис): AP, BP и CP  — бо­ко­вые рёбра, углы между ними пря­мые.

До­стро­им тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду PABC до па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Ра­ди­ус сферы, опи­сан­ный около дан­ной пи­ра­ми­ды и па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли d этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Найдём эту диа­го­наль:

Зна­чит, ра­ди­ус R опи­сан­ной окруж­но­сти равен 2. Найдём объём V шара:

Ответ:

Про­ве­дем осе­вое се­че­ние ко­ну­са, по­лу­чим тре­уголь­ник ABS и впи­сан­ное в него диа­го­наль­ное се­че­ние куба  — пря­мо­уголь­ник KK₁M₁M. По усло­вию AB = BS, тогда тре­уголь­ник ABS рав­но­сто­рон­ний. Пусть OB = r, тогда BS = l = 2r. Зная, что пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна 72 най­дем r:

Тогда AB = SB = 12. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра SO = 6 Пусть MM₁ = x, тогда MK = x. Имеем:

Тре­уголь­ник SO₁K₁ по­до­бен тре­уголь­ни­ку SOB по двум углам, тогда:

Ответ:

Про­ве­дем осе­вое се­че­ние ко­ну­са, по­лу­чим тре­уголь­ник ABS и впи­сан­ное в него диа­го­наль­ное се­че­ние куба  — пря­мо­уголь­ник KK₁M₁M. По усло­вию AS = BS и угол SBO равен 60°, то тре­уголь­ник ABS рав­но­сто­рон­ний. Пусть OB = r, тогда BS = l = 2r. Зная, что пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна най­дем r:

Тогда AB = SB = 8. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра SO = 4 Пусть MM₁ = x, тогда MK = x. Имеем:

Тре­уголь­ник SO₁K₁ по­до­бен тре­уголь­ни­ку SOB по двум углам, тогда:

Ответ:

Най­дем ра­ди­ус ос­но­ва­ния опи­сан­но­го ко­ну­са, зная длину этой окруж­но­сти по­лу­чим

Так как дан­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная по усло­вию, то в ее ос­но­ва­нии лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник. Тогда, зная, что ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти в два раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти, по­лу­чим

Най­дем объ­е­мы обоих впи­сан­ных ко­ну­сов и вы­чис­лим их раз­ность:

Ответ:

Най­дем ра­ди­ус ос­но­ва­ния впи­сан­но­го ко­ну­са, зная длину этой окруж­но­сти

Так как дан­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная по усло­вию, то в ее ос­но­ва­нии лежит квад­рат. Тогда, зная, что ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти в ко­рень из двух раз боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти, по­лу­чим

Най­дем объ­е­мы обоих впи­сан­ных ко­ну­сов и вы­чис­лим их раз­ность:

Ответ:

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник, при­мем его сто­ро­ну за a. По усло­вию дву­гран­ный угол при бо­ко­вом ребре пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен 120°, зна­чит, Тре­уголь­ник AKB  — рав­но­бед­рен­ный (AK  =  BK), тогда Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник BKC. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов:

Тогда:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник PMC, в ко­то­ром и тогда Так как тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний, то H  — центр тре­уголь­ни­ка, от­ку­да

Из тре­уголь­ни­ка MHP по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра По усло­вию вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 3, тогда:

Вы­со­та ко­ну­са, опи­сан­но­го около пи­ра­ми­ды, равна вы­со­те, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су опи­сан­но­го около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са, где и h  =  3:

Ответ: 72π.

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды лежит квад­рат, при­мем его сто­ро­ну за a. По усло­вию дву­гран­ный угол при бо­ко­вом ребре пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен 120°, зна­чит, Тре­уголь­ник DKB  — рав­но­бед­рен­ный, DK  =  BK, тогда Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник DKC. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов:

Тогда

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник PMC, в ко­то­ром и тогда Так как ABC квад­рат, то H  — центр квад­ра­та, от­ку­да

Из тре­уголь­ни­ка MHP по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра По усло­вию вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 5, тогда:

Вы­со­та ко­ну­са, впи­сан­но­го в пи­ра­ми­ду, равна вы­со­те, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су впи­сан­ной в квад­рат ABCD окруж­но­сти. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са, где r  =  5, h  =  5:

Ответ:

Пусть ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен a см, тогда и так как ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — впи­сан­ный в окруж­ность пра­виль­ный тре­уголь­ник. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

За­ме­тим, что

то есть, грани пи­ра­ми­ды  — пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки. Пусть точка M  — се­ре­ди­на ребра PC, от­ку­да и равен углу между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми пи­ра­ми­ды. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке AMB: от­ку­да

Ответ:

Пусть ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен тогда и так как ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — впи­сан­ный в окруж­ность квад­рат. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

За­ме­тим, что то есть, грани пи­ра­ми­ды  — пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки. Пусть точка M  — се­ре­ди­на ребра PD, от­ку­да и равен углу между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми пи­ра­ми­ды. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке AMC:

Ответ:

Пусть a  — ребро куба. Вы­ра­зим ребро через пло­щадь куба и най­дем объем:

Пусть b  — вы­со­та ци­лин­дра, тогда ра­ди­у­са ци­лин­дра равен Вы­ра­зим вы­со­ту через пло­щадь и най­дем объем:

Пусть R  — ра­ди­ус шара. Вы­ра­зим ра­ди­ус через пло­щадь и най­дем объем:

Чис­ли­те­ли объ­е­мов каж­дой фи­гу­ры равны, срав­ним зна­ме­на­те­ли:

Ответ: шар.

Пусть a  — ребро куба. Вы­ра­зим ребро через пло­щадь куба и най­дем объем:

Пусть b  — об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, тогда ра­ди­у­са ос­но­ва­ния и вы­со­та ко­ну­са равны со­от­вет­ствен­но и Вы­ра­зим об­ра­зу­ю­щую через пло­щадь и най­дем объем:

Пусть R  — ра­ди­ус шара. Вы­ра­зим ра­ди­ус через пло­щадь и най­дем объем:

Чис­ли­те­ли объ­е­мов каж­дой фи­гу­ры равны, срав­ним зна­ме­на­те­ли:

Ответ: конус.

В тре­уголь­ник TPM впи­сан квад­рат Пусть его сто­ро­на равна

Тогда имеем

и Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки PTM и PNF. В них   — общий, а как со­от­вет­ствен­ные углы при па­рал­лель­ных пря­мых NF и TM (PT  — се­ку­щая). Тогда эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны до двум углам, сле­до­ва­тель­но:

Най­дем объём ци­лин­дра:

Ответ: